CFA二级量化方法重点分析:线性回归假设的违反,识别与处理
 
  高顿财经CFA讲师  Quine老师
 
  线性回归分析的有效性依赖于若干假设,这些假设包括:
 
  (1)因变量与自变量间存在着线性关系;
 
  (2)自变量不是随机变量,且不存在精确的(完全的)线性关系;
 
  (3)给定自变量,误差项的条件期望为零;
 
  (4)误差项的方差应为常数;
 
  (5)误差项之间应相互独立;
 
  (6)误差项是正态分布的。
 
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  以上六个假设如果有一个或多个被违反,则线性回归分析的结果会有问题,最常见的三个问题是异方差性、序列相关与多重共线性。针对以上三个问题,我们需要明确:
 
  (1)问题的含义是什么?
 
  (2)它对回归分析的影响;
 
  (3)如何识别这些问题?
 
  (4)如何处理这些问题?
 
  下面我们做一个系统的总结。
 
  一、异方差性(heteroskedasticity)
 
  含义:
 
  误差项的方差不为常数,而是随着观察值的变化而变化,可以分为无条件异方差(unconditional heteroskedasticity)与条件异方差(conditional heteroskedasticity)。
 
  无条件异方差指误差项的方差虽然随观察值的变化而变化,但是没有固定的规律,这虽然违反了线性回归的假设,但对回归分析结果不会有太大的影响。条件异方差则不同,误差项的方差会随着观察值的增大而增大或减小,从而对回归分析的结果会产生较大的影响。

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  影响:
 
  (1)回归系数的标准误不能有效的估计;
 
  (2)回归系数的估计不受影响;
 
  (3)回归系数的T检验的结果会受影响,如果标准误被过大估计,则T统计量会过小,则容易导致错误地无法拒绝原假设;如果标准误被过小估计,则T统计量会过大,则容易导致错误地拒绝原假设;
 
  (4)F检验的结果也是不可靠的。
 
  识别:
 
  (1)在一元回归中,可以观察值为横轴,残差为纵轴做散点图进行观察,如果发现残差随着观察值的增大或减少有显著变化,则可能存在异方差;(2)更常用的识别方法为Breusch-Pagan检验。
 
  处理:
 
  (1)使用稳健标准误(robust standard error)重新计算T统计量,根据新的统计值判断是否拒绝还是无法拒绝原假设;
 
  (2)使用广义最小二乘回归。

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  二、序列相关(serial correlation)
 
  含义:
 
  序列相关也称自相关,是指误差项之间不是完全相互独立的,而是存在相关性。序列相关分为两种,一种得正序列相关,一种是负序列相关。正序列相关中,正的误差项之后有较大概率仍是一个正的误差项,在负序列相关中,正的误差项之后有较大概率是一个负的误差项。
 
  影响:
 
  正的序列相关使得残差项倾向于集聚,从而使得系数的标准误缩小,从而夸大了 T统计量,使得第一类错误的可能性上升,即在原假设成立时错误的拒绝它,这会使得我们错误的把不显著的结果当成显著的。但系数本身的估计仍是可靠的。
 
  识别:
 
  (1)在一元回归中与识别异方差的方法类似,可以观察值为横轴,残差为纵轴做散点图进行观察;
 
  (2)DW 检验:如果 DW 统计量小于下临界值,则拒绝原假设,残差正序列相关。如果,则无法得出结论。如果DW统计量大于上临界值,则无法拒绝原假设。
 
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  处理:
 
  (1)使用 Hansen-white标准误,对原来的标准误进行调整;
 
  (2)进一步修正模型,将数据的时间序列性质纳入到模型中。
 
  三、多重共线性(multicollinearity)
 
  含义:

        两个或更多的自变量,或者自变量的线性组合高度相关。
 
  影响:
 
  (1)对系数的估计不可靠;
 
  (2)过高的估计系数的标准误,从而导致低估T统计量,从而错误地无法拒绝原假设,从而错误的得出结论认为系数统计上不显著。
 
  识别:
 
  (1)如果模型的F检验与都表明模型显著,但T检验表明各个变量不显著,则很可能存在多重共线性;
 
  (2) 如果只有两个自变量,它们的相关系数大于0.7,则很可能存在多重共线性,注意这条经验规律只在只有两个自变量的情况下成立。
 
  处理:
 
  (1)试着去掉一两个变量;
 
  (2)使用逐步回归法(stepwise regression),逐渐减小多重共线性。
 
  以下表格对比分析了三种违反线性回归假设情况的含义、影响、识别与处理方法:
 
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